误差分析与数据处理

课程体系概况

• 误差理论

  • 经典误差理论：参数测量结果
    • 误差概念：测量值-真值（理想）
    • 误差分类
    • 误差的处理方法：
      • 系统误差、随机误差、粗大误差
    • 误差合成：若干误差影响因素，它们的综合影响结果是什么
    • 误差分配：合成问题的逆问题
    • 最佳方案？
  • 经典误差理论：测试系统分析
    • 误差传递
      • 环节误差分析原理
      • 开环与闭环系统的误差分析
    • 误差补偿
      • 基本原理：施加补偿信号，与干扰信号抵消
      • 同一位置补偿与不同位置补偿
      • 静态与动态测试系统的误差分析与补偿
  • 现代误差理论：不确定度体系
    • A类评定
    • B类评定
    • 合成标准不确定度
    • 扩展不确定度
    • 误差与不确定度之间的关系？

• 数据处理

  • 最小二乘法

    • 原理

    • 应用

      • 参数的最可信赖值估计
      • 组合测量的数据处理
      • 回归分析

    • 需要注意的问题

      • 静态测量与动态测量

      • 等精度测量与不等精度测量

绪论

测量、测试与计量

• 测量：将被测量与一个作为测量单位的标准量进行比较得出比值的过程

• 完整的测量过程：被测量+测量单位+测量方法+测量精度

• 测量分类

  • 直接测量、间接测量
  • 单项测量、综合测量
  • 静态测量、动态测量
  • 等精度测量、不等精度测量（按照测量中测量因素是否变化）
  • 接触、非接触，等等其他分类

• 测量与测试：

  • 测试：带有试验性质的测量，获取被测对象的信息
  • 测试是测量的一个组成部分

• 计量：将不可测量的量转化为可测量的量，可以追溯到标准量的测量

  • 非国际单位制单位、组合单位制单位

  • 基准：复现某一基本测量单位的量值，只用于鉴定各种量具的精度，不直接参与测量

    • 一级基准：最高水平，一个国家只有一个
    • 二级基准：副基准，代替主基准向下传递/参加国际比对
    • 三级基准：直接向下属标准量具进行量值传递，用以检定下属标准量具的精确度

误差理论与数据处理的发展历程

• 问题提出、重要作用、发展历程
  • 概念——分类——分布——分配
• 最小二乘法
• 回归分析：解决相关关系的有力方法
• 不确定度：被测量的估计与分散性

误差的基本概念和意义

误差的定义

• 误差= 测量结果-测量真值
  • 真值：理论；约定；相对真值

误差的分类

• 表示形式
  • 绝对误差=测量值-真值
    • 衡量测量结果的偏移与方向
    • 修正值=真值-测量值
  • 相对误差=绝对误差与真值的比
    • 衡量测量精度
  • 引用误差=一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比
    • 被测量一直在变化
    • 特点
      • 绝对误差的最大值与仪表的量程上限成正比
      • 被测量的值越接近量程上限，测量的相对误差越小，测量越精确
    • 表示：电表1.0级，意思是引用误差为1%，绝对误差≤量程1%。在化为具体数值时需在前面*加±
• 特点与性质
  • 系统误差：有规律
    • 系统误差的大小反应了正确度
  • 随机误差：无规律
    • 用算数平均值作为被测量的最佳估计值可以减少此误差影响
  • 粗大误差：明显超出预期
  • 处理方法
    • 粗大误差：剔除
    • 系统误差：修正
    • 随机误差：分析处理

误差的来源

• 测量装置误差
  • 计量器具误差、测量仪器误差
• 测量方法误差
  • 原理性误差，属于系统误差
• 测量环境误差
  • 温度、湿度、压力
• 测量人员误差

误差分析的目的和意义

• 测量结果
• 系统分析
• 意义：最小的投入、最好的产出

测量结果的处理与评价

测量结果的处理

• 参数测量结果的处理方法
  • 误差合成（误差分析内容）：求出未知参数的数值，评定该数值含有的误差
    • 随机误差的合成
      • 随机误差分量的列举与合成
  • 参数的最可信赖值估计（数据处理内容）
• 测试系统标定实验的数据处理
  • 数据处理：建立数学模型，计算性能指标，检查其与实验结果的区别

有效数字与数值运算

有效数字的概念

• 有效数字：实际测量得到的数字除最后一位是可疑的之外，其余的数字都是确定的
• 有效数字与有效位数
  • 直接测量的有效数字
  • 科学计数法
  • 非直接测量的有效数字
• 有效数字中“0”的含义
  • 作为有效位数
    • 在非零数字之间
    • 在数据末尾（可疑）
  • 不是有效位数，只是定值，说明范围
    • 在非零数前

数字舍入的规则

• 四舍六入五留双（5前为奇数变偶，偶数不变）
  • 特殊：7.4501→7.5（5后若有数，也参与修约；若只有5，四舍六入五留双）
• 不能连续修约（不可从最后一位开始修约）

数据运算规则

• 原则：运算结果的精度不可能超过原始数据的精度
• 加减：以小数位数最少的为准，计算时可多取一位，但最终结果应该与最少的小数位数相同
• 乘除：以有效数字最少的为准，计算时可多取一位，但最终结果应该与最少的有效数字相同
• 乘方/开方：结果有效数字位数与底数有效数字位数相同

量值传递和计量检定

计量单位和计量基准

• 古典计量、经典计量、现代计量
  • 现代计量特点：
    1. 开放性：与复现无关
    2. 广泛性：各基准共存
    3. 统一性：一些基本的参数之间

量值传递与量值溯源

• 基本概念：
  • 量值传递：（由上而下）将国家计量基准复现的计量单位量值，通过检定（或其他传递方式）传递给下一级的计量标准，并依次逐级传递到工作计量器具，以保证被测量的量值准确一致
  • 量值溯源：（由下而上）一条不间断的具有规定不确定度的不间断比较链，使测量结果与标准联系起来
    • 计量基准：在特定领域内有最高计量特性的计量标准，分为国家基准（主基准）、副基准、工作基准
    • 计量标准：将计量基准量值传递到工作计量器具的一类计量器具，是量值传递的中心环节
      • 不能认为准确度高的计量器具一定是计量标准
  • 溯源原则：国家计量基准——计量标准——工作计量器具
  • 溯源等级图
• 实物传递：量值传递的主要方式；费时费钱，运输过程会丧失精确度
• 发放标准物质：理化分析领域，一级二级
• 计量保证方案：适用于时间、频率、无线电领域
• 综合计量保障：适用于被测量快速移动的领域

经典误差分析的基本方法

误差的基本性质与处理方法

随机误差的概念与处理

• 测量环境、测量装置、测量人员都可能产生随机误差

• 重点关注正态分布的随机误差，但并不是所有的随机误差都服从正态分布

  正态分布的概率密度函数：
  
  关注的焦点：被测量的真值μ，测量的标准值σ

  • 分布特点的物理意义：单峰性，对称性，有界性，抵偿性（多次测量平均值可以作为真值）

• 算数平均值

  • 物理意义：真值的最佳估计（在测量次数无穷多的情况下是真值）
  • 测量结果的期望值也就是算数平均值
  • 测量误差
    • 随机误差：数学期望为0的误差分量
    • 系统误差：数学期望不为0的误差分量

• 测量的标准差

  • 物理意义：衡量测量列测量结果的分散性或不可靠性
  • 两个概念
    • 标准差σ
    • 标准差的估计值s
  • 计算方法：
    • 单次测量的标准差
      • 物理意义：衡量n次测量的分散性
      • 测量场合：用于表征一个测量列单次测量的分散性
      • 作用：用来剔除粗大误差（用单次测量的极限误差）
    • 算数平均值的标准差
      • 物理意义：衡量算数平均值的分散性
      • 测量场合：表征同一被测量的多个独立测量列算术平均值的分散性
      • 作用：确定真值落在什么样的区间之内（用算数平均值的极限误差）

• 测量的极限误差

  • 与有界性对应
  • 测量结果不超过极端误差的概率为p，使差值1-p可以忽略
  • 可以查询单次测量的极限误差表，得到概率与极限误差之间的关系
  • 分类
    • 单次测量的极限误差
    • 算数平均值的极限误差

系统误差的概念和处理

• 基本概念：有规律，可预测（可能可变）
• 意义：反映测量结果偏离真值的程度
• 来源：方法、装置、环境、人员
• 分类：恒定、可变（线性、周期、复杂规律变化）
• 发现：实验对比、理论分析、数据分析
  • 发现的是恒定还是可变系统误差？定性还是定量发现？
  • 结论：
    • 实验对比：发现恒定系统误差
    • 理论分析：定性分析
    • 数据分析：定量发现
• 减小与消除
  • 消误差源、加修正值（关键：确定修正值）、改进测量方法（替代法、交换法、半周期法）

粗大误差的概念与处理

• 原因：测量方法选取不当、测量条件突然变化、测量操作疏忽与错误

• 处理准则：必须首先剔除掉

• 判断准则

  • 给定一个置信概率，确定置信区间。
  • 问题：是否已知误差分布规律，如果未知，测量点数是否足够多？不够多？

  1. 3σ准则

     对应**正态分布**。假定数据只含有随机误差，计算真值与标准偏差，确定置信区间；用所得置信区间对粗大误差进行剔除；迭代，直到粗大误差全部剔除。

     • 注意：在计算真值与标准差的时候，都要把疑似粗大误差点**留下来**计算

  2. 罗曼诺夫斯基准则

     对应t分布。将可疑数据剔除之后计算平均值，按照贝塞尔公式计算标准偏差。查表得到检验系数，其中n为测量次数，α为置信概率。按照剔除粗大误差。

• 消除

  • 有些粗大误差的剔除不用算对应分布类型，例如狄克松准则
  • 只要有至少一个原则认为有粗大误差，则认为有粗大误差
  • 一组数据的粗大误差点≤2才可以后续计算
  • 如果有多个误差点采用逐步剔除

等精度与不等精度测量结果的数据处理方法

• 等精度测量实现条件：测量环境、仪器、方法、人员水平、测量次数都相同

• 求取参数

  • 算数平均值（等精度情况下）
    

  • 标准差（一般计算精度上，比题目所给数据多保留1位）

    • 单次测量的标准差

      残余误差替代了误差，导致分子分母都发生了变化，最终公式（贝塞尔公式）：
      

    • 算数平均值的标准差
      

    • 算数平均值的极限误差

      测量参数最佳次数：10-15次

      根据所给置信概率，查表得对应系数（等），用它与算术平均值标准差相乘
      

• 不等精度测量：上述条件至少一个不同

  • 确定权值

    1. 测量次数并不一定与权值相关，因此不那么合理。**但是这种假设在下面还是要被沿用**。

    2. 假定对同一被测量进行m组不等精度测量，每组测量个数分别为，算数平均值为$\overline{x}1,…,\overline{x}m$
       p_1\sigma{x_1}^2=p_2\sigma{x_2}^2=…=p_n\sigma_{x_n}^2=\sigma^2\
       p_i=\frac{k}{\sigma_{x_i}^2}
       $$
       在实际计算的时候，为了计算简便，k一般取多个中最大的一个，从而让其中一项的系数为1。**如果有这种确定方法的条件，就一定得用这种方法**。

       意义：分散性（方差）越小，测量越稳定，权值越大

  • 加权算数平均值

    不等精度时，
    $$
    \overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{m}p_i\overline{x}i}{\sum{i=1}^{m}p_i}
    $$

    当时，（等精度）
    

  • 单位权化

    令，则
    
    实现单位权化。

  • 标准差

    单位权化得到m个点，可以用贝塞尔公式去算单次测量与算数平均值标准差。
    

误差的合成

函数误差

• 研究误差传递的规律
• =函数系统误差+函数随机误差

函数系统误差

• 已定系统误差的合成

  **代数和**：

​ 注意：这里的都是精度较低的数据减去精度较高的数据的结果，误差的定 义就是**测量值减去真值**。

• 未定系统误差的合成
  • 表示系统误差可测，但不必测，在某一个区间之内
  • 特点：确定性、极限性（事先确定）
  • 方和根

函数随机误差

• 特点：随机性、界限不定（处理后确定）

• 方法

  先平方，再加和，后开根号（方和根）。如果误差之间的相关系数为0，则
  
  如果是重复测量，随机误差项在单次测量基础上/n。

• 标准差合成

  如果是单次测量则用单次测量标准差，如果是多次测量用算数平均值的标准差

• 极限误差合成

  条件：各个误差项服从正态分布的数量比较多

误差合成原理与应用

	随机误差	已定系统误差	未定系统误差
合成方法	方和根	代数和	方和根
原则	合成	修正	合成

误差的分配

• 概念

  • 给定总误差，确定各项单项误差
  • 没有已定系统误差，如果有的话也是未定系统误差

• 微小误差的取舍

  • 基本思想：拿掉某一项误差之后造成的影响可以忽略
  • 一般准确度的测量：
  • 精密测量：
  • 结论：被舍去的误差小于等于测量结果总标准差的

• 具体误差分配原则

  graph TD;
  	按等影响原则分配--->按可能性调整误差--->验算调整后的总误差

  其中，按等影响原则分配时，
  
  此处n为影响项数。

  在选择测量方案的时候，优先选择测量工具不变的方案，一个变量的允许误差的超出可以从另一个变量处得到补偿

最佳测量方案的确定

• 考虑随机误差与未定系统误差

• 确定方法

  • 项数越少越好

  • 传递系数越小越好

    出现矛盾时，以高次项为主

• 经验：通常情况下外尺寸的测量结果优于内尺寸的测量结果

现代误差分析的基本方法

测量不确定度的概念及其与误差的关系

• 概念：测量结果带有的一个参数，用于表征合理地赋予被测量之值的分散性

  • 最佳值+半宽区间
  • 起源：海森堡测不准原理

• 基本体系

  • 标准不确定度：以标准差形式表示的不确定度，用u表示。

    • A类评定分量：依据一系列测量数据的统计分布得到的实验标准差

    • B类评定分量：基于经验或者其他信息假定的概率分布得出的标准差（不是A类）

  • 自由度：计算总和中独立项的个数

    • 自由度越大越好

  • 合成标准不确定度=若干分量的方差或协方差加权之和的正平方根

  • 包含因子：为获取扩展不确定度，对合成不确定度所乘的参数

  • 扩展不确定度：测量结果取值的半宽区间

  • 测量不确定度与误差之间的关系（见ppt上p9表）

  • 不确定度 = 最佳估计值+分散性参数

• 计算流程

  • 建立数学模型，求最佳值
  • 列出不确定度分量的表达式：A、B
  • 合成标准不确定度
  • 扩展不确定度

基本概念

• 被测量值的估计+表征该值分散性的参数=一个完整的测量结果
• 测量结果质量用不确定度来衡量：不确定度越大，分散性越大，测量质量越低；反之分散性越小，测量质量越高
• 不确定度根据方法分类：相对合成标准不确定度、相对扩展不确定度

标准不确定度的评定

A类评定方法

要求给出标准不确定度分量与自由度

• 贝塞尔法

  • 前提：对单个量进行重复性测量
  • 计算方法：
    • 算出算数平均值作为最佳估计值
      • 注意：这里算出的算数平均值，要比题目中所给数据的位数多保留一位
    • 算出单次测量标准差s
    • 如果是重复测量，用算数平均值作为x的估计值，算数平均值标准差=单次测量标准差/
    • 自由度 = （总和项数）n - （总合限制条件）1
      • 除贝塞尔公式之外，A类评定中自由度都是查表
  • 计算结果出现差异时，以贝塞尔公式的结果为准。

• 最大残差法

  $$

s = c_{n}max|v|
$$

​ 自由度与查表可得。

• 极差法

• 彼得斯法
  

B类评定方法

1. 不确定度

​ 特点：一定有一些先验信息，基于其他方法来估计概率分布。但是不严谨，关于分量具体分布的类型的判定是主观的。（首先判断分布类型，然后根据的类型选择计算方法）

• 特殊：

  • 矩形分布：

  • 周期变化：

2. 自由度

   可由估计u的相对标准差计算自由度
   

测量不确定度的合成与表示

• 合成标准不确定度的计算公式

  1.

  • 直接测量：方和根
  • 间接测量：乘上传递系数，然后方和根

  2.

  • r = 0，用方和根法：每个分量的不确定度×传播系数，平方、加和、开根号

  • r = 1，则不能用开方的方法，而要用代数和的方法去计算（例：10个1000Ω电阻串联）

  • 0 < r <1，计算其相关系数

    • 相关系数的求法

      1. 判断法

         ρ = 0，两个量可能互相独立，也可能互相影响但是影响程度小

         ρ = 1，两个量之间有正相关关系

      2. 理论计算法

      3. 简单计算法

• 有效自由度跟扩展不确定度

  • 有效自由度：W-S公式
    
    有效自由度可以用来计算包含因子。

  • 扩展不确定度=合成标准不确定度×包含因子

    1. 自由度法（推荐）

       • 在可以取得每一个分量的自由度、被测量在多数条件下服从正态分布时应用此方法，查t分布表得到包含因子

       ​ 若有效自由度非整数，可以通过内插求出临界值；或者将其切断至较小的整数求出临界值

    2. 简易法

       简单取k = 2或者3，用于实在缺少资料的情况

    3. 超越系数法

       每一个不确定度分量都对称，则可以查出每个分量的超越系数，算出合成标准不确定度，算出合成标准不确定度的超越系数

• 测量不确定度的表示

  1. 测量结果报告的基本内容

     1. 原始数据

     2. 最佳估计值（算数平均值）

     3. 测量不确定度的信息（所有不确定度分量、自由度与相关系数）

     4. 合成标准不确定度

        表示：四种形式

     5. 扩展不确定度

        要给出置信概率、有效自由度

     6. 不确定度报告

  2. 有效数字的位数：

     • 位数一般为2位

     • 相关系数的绝对值接近1，取3位有效数字

测量不确定度应用举例

• 计算流程

graph TD;
	建立数学模型--->求最佳值--->各不确定度分量的表达式;
	各不确定度分量的表达式--->A类评定;
	各不确定度分量的表达式--->B类评定;
	A类评定--->合成标准不确定度;
	B类评定--->合成标准不确定度;
	合成标准不确定度--->扩展不确定度--->不确定度报告

• 不确定度计算例题
  • 体积测量
    • 注意：B类不确定度最后要转到对最终测量结果的影响方面上，在的基础上还得乘上对应的传递系数，方和根计算
  • 电压测量不确定度

总结

最小二乘法原理与计算

• 落脚点：参数的最可信赖值估计

  • 注意：不是测量结果的最佳估计

• 基本原理：残余误差的平方和最小

  • 前提：没有系统误差（**无偏**）、各项正态分布、相互独立
  • 做法：列出残差平方和，然后对不同变量求偏导，令一阶偏导等于0，二阶导数＞0

• 需要算出最佳估计，然后算出精度水平

最小二乘法的基本运算

线性参数的最小二乘运算

等精度测量

• 方程式解法：列出残余误差方程

• 矩阵式解法：（一般需要保留4位）

其中

将最佳值代入误差方程，可以求出V。从而得出标准差的估计值：
$$
σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{v^{2}{i}}}{n-t}}

σ{11} = σ\sqrt{d_{11}}
$$

不等精度测量

• 不等精度测量第一步：确定权值

  • 如果有标准差，用标准差平方分之一相比确定权值；如果没有，直接用次数估计权值

• 方程式解法：写出正规方程，加权的残余误差平方和最小

• 矩阵式解法：矩阵的表达形式，注意在C与L处都有被权系数影响
  
  P为权系数矩阵。

非线性参数的最小二乘运算

• 基本思想：非线性方程的线性化

  • 关键：要足够小，小到可以忽略泰勒展开的二阶及之后的项
    • 估计出
    • 按照级数形式展开

• 做法：

  1. 列出所给的非线性方程组

     形式：（左边为矩阵L的元素，右边为测量方程）
     

  2. 由所列方程组中线性的部分，应用线性方程的最小二乘计算的方法，求出每个待估计量的近似值

  3. 分别对测量方程就不同的自变量求偏导，得到矩阵A

  4. 将非线性方程组转化成为的新线性方程组为V = L - Aδ，

     其中
     
     求出δ矩阵

  5. 由δ矩阵中的与算出

• 当一个表达式中有两个自变量时，在计算因变量的标准差时，注意求两个自变量的相关系数

最小二乘法的精度估计

直接测量数的精度估计

• 这里的标准差不能用贝塞尔公式来求，因为对应的函数关系不同，测量

等精度测量

• 直接测量数的精度用标准差来衡量：

n为测量方程数，t为未知量个数

不等精度测量

• 将等精度测量中残差平方和转成加权的残差平方和，然后按照等精度的方法计算

最小二乘估计量的精度估计

• 并没有进行新的计算，只不过是把之前的计算结果进行应用。

等精度测量

• 最小二乘估计的平方：
  

• 想要求出

  • 这些数就是C的逆矩阵的对角线上的结果

不等精度测量

• 结果：对角线上的元素。

组合测量的最小二乘处理

• 直接测量待测参数的组合量，实质上仍然是参数的最可信赖值估计。

总结

graph TD;
	线性等精度--->求解;
	线性不等精度--->求解;
	非线性--->求解;
	求解--->方程式--->最小二乘估计量计算结果;
	求解--->矩阵--->最小二乘估计量计算结果;
	直接测量数的精度估计--->最小二乘估计量的精度估计--->最小二乘估计量的精度水平;
	最小二乘估计量计算结果--->最终结果;
	最小二乘估计量的精度水平--->最终结果;

回归分析及其应用

基本概念

• 回归分析是最小二乘法的应用，求解相关关系

  • 相关关系，经过研究，可向函数关系转化

• 回归分类（排列组合）

  • 变量个数：一元、多元
  • 变量关系：线性、非线性

• 最小二乘法并不给出回归分析的整体质量

一元线性回归分析

回归方程的确定

• 最小二乘法求出与b的最可信赖值，从而求出回归直线

• 计算过程：（注意，所有的量都必须带上单位！）

  1. 求
  2. 求
  3. 求
  4. 计算b

​ 5. 计算b0

回归方程的方差分析与显著性检验

求出任何一个回归关系之后，一定要做显著性检验

• 方差分析

  • 回归平方和，自由度为1
  • 残差平方和，自由度为N-2
    • SSE越小，显著性水平越高
  • 总离差平方和SST(S)==回归平方和SSR+残余平方和SSE，自由度为N-1
  • 方差=Q/(N-2)

• 回归方程显著性检验

  • F检验法

    先假设不显著，
    
    N为实验点数。

    算出F之后，查表得，若则拒绝假设（在α水平上显著）。

    • F越大（Q越小），越显著

  • r检验法
    

  • F检验与r检验一一对应，所以不矛盾

• 方差分析表

  • 然后查置信水平表

• 回归方程的稳定性与精度表征

  • 残余标准差的计算.0.02475公式：
    

  • 回归方程的稳定性

    • 定义：回归值的波动越小，稳定性越好
    • 提高：
      1. 提高观察数据本身的稳定度
      2. σ越小越好
      3. …

• 预测问题

  • 定义：给定的预测区间

    • 首先代入，算出

    • 预测区间为，其中可以用以下公式计算：
      

• 控制问题

  • 是预测问题的逆问题，给定y区间求出x的区间
  • b>0时，x>时，可以求出x的置信区间

重复实验情况

• 通过重复实验，获得误差平方和与失拟平方和。前者是由实验误差引起的，后者是由非线性和其他未加控制的因素引起的
  

• F检验：（要做3次）
  
  若F大于对应数值，说明一元回归方程拟合显著
  
  若F1大于对应数值，说明失拟误差的影响不可忽略
  
  若足够小，可以用综合判断拟合结果

两个变量都有误差时线性回归方程的确定

两种方法：

1.

• 如果一个变量的误差可以忽略，则当作自变量
• 如果两个变量的误差大体相当，取两条回归线的平均线
• 如果两个变量中的一个变量误差比另一个大，则偏向误差小的作为自变量的直线

2.

• 先验知识：
  

• 戴明推广：每个点到回归直线的垂直距离的平方和为最小时，所求得的回归系数是最佳值。
  

• 分别计算，与所求得的直线方程一同呈现，最终结果才完整

一元非线性回归

• 一般不采用解析仿真法

• 典型的化解方法：（注意：转换过后所用的数据集一定不是原始的测量数据集！）

• 具体步骤：

  • 回归曲线函数类型的选取与检验：直线检验法、作图观察法
    • 预选回归直线，其中为只含有变量x或y的函数，A、B为a和b的函数。
    • 求出几对x、y对应的值，选值时尽量均匀
    • 以为坐标作图，若为直线，说明原选定的曲线类型是合适的

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• 如果多个曲线都可以满足，将所有的回归曲线方程都进行显著性检验
  • 检验时不可以用回归方程方差分析中Q的算法，要从定义出发

多元线性回归

• 回归计算方法

  • 最小二乘法
  • 将平均值代入得到一列方程，得到m+1维的结果

• 回归方程的显著性检验

  方差来源	平方和	自由度
  回归		k
  剩余		n-k-1
  总和		n-1

  F值与临界值：
  

• 衡量每个变量对回归的影响

  • 每个变量在多元回归中起的作用：在回归平方和中去掉一个变量，回归平方和只会减少，减少的数值越大，说明该变量在回归中起的作用越大

  • 偏回归平方和：含有与不含有一个变量的回归平方和之差

  • 用残差平方和对偏回归平方和进行F检验：（回归显著性检验）
    

  • 偏回归平方和大的变量一定是对y有重要影响的因素；偏回归平方和小的变量不一定不显著；偏回归平方和最小的变量一定是作用最小的一个

动态实验数据的处理方法

随机过程及其特征

• 随机变量：随机过程在某个特定时刻的形式

• 平稳信号：

  	平稳信号
  随机相位正弦信号	√
  随机振幅正弦信号	×
  随机相位正弦序列	√
  随机振幅正弦序列	√

统计特征

• 随机变量与随机过程的区别：

	随机变量	随机过程
维数	1	2
描述	概率分布函数，平均值、标准差	四种统计函数

• 随机过程的描述

  • 特征：不是一个数，而是一个函数
  • 时域：均值、方差、协方差、相关函数
  • 频域：谱密度函数

时域统计函数

• 概率、概率密度函数、概率分布函数

  • 后两者互为微积分的关系

• 均值、方差与方均值

  均值	方差	方均值
  一阶原点矩	二阶中心矩
  中心趋势	分散程度	中心趋势、分散程度

• 相关函数

  • 自相关函数：反映不同时刻间的统计函数的特点
    • 标准自相关函数：自相关函数除以t与时刻的标准差
  • 互相关函数：两个随机过程之间的关联性

频域统计函数

• 谱密度函数
  • 时域是周期的，频域则是离散的；时域是非周期的，频域是连续的
  • 一般频谱随机过程存在谱函数，但不一定存在谱密度
  • 单边谱密度、双边谱密度：谱密度函数是非负的实偶函数
  • 与自相关函数互为傅里叶变换

特征量的实际估计

• 平稳随机过程

  • 均值与方差不随时间改变，自相关函数与t无关，只与τ有关。
  • 总体平均法（几何平均法）
    • 用到了所有的样本与所有的数据，算出每个样本的均值与标准差
    • 算完之后，要重看是否符合平稳随机过程的特点

• 各态历经随机过程

  • 一个样本能够反映所有样本的特征

  • 判断：自相关函数在增加时趋于0

    • 自相关函数与谱密度函数互为傅里叶变换的关系

  • 时间平均法：

    • 只用到了一个样本，因此不能用总体平均法

    • 沿着时间积分得到平均值，然后算出对应的方差
      

• 非平稳随机过程

动态测量误差及其评定

• 评定参数

  • 系统误差：确定变化规律
  • 随机误差：随机变化规律

• 处理流程

  • 数据预处理：截断、采样，变成有限的离散数据；判断有没有粗大误差，分离出系统误差
    • 平稳性、周期性、正态性
  • 分离出随机误差
  • 得到真实值

• 数学模型

  • 系统误差：所有分量同一时刻系统误差的平均，或同一时刻所有误差的最大值
    

  • 随机误差：分离出只含有随机分量的过程

  • 如果是各态历经的，可以用时间平均法来算

    • 注意：
      1. 如果用时间平均法来算，在算完之后一定要验证是否相对不变
      2. 如果需要误差合成，则要求协方差

测试系统动态性能指标

• 阶跃、冲激：变化最快，覆盖频率最广

• 一阶系统

  • 时域

    • 时间常数T：输出由0上升到63%对应的时间
    • 响应时间、延迟时间、上升时间

  • 频域性能指标：

    1. 通频带，幅值增益的对数特性衰减-3dB时对应的频率范围

    2. 工作频带：归一化的幅值误差小于规定误差
       

  • 总结：减小时间常数T是改善一阶系统性能的关键

• 二阶系统

  • 时域

    • 阻尼

      • 如果出现振荡（，欠阻尼），定义振荡次数：峰值时间，超调量，振荡衰减率d

    • 响应时间、延迟时间、上升时间

  • 频域

    • 工作频带：因为时通频带出现峰值，所以只定义工作频带

• 总结

  	时域动态性能指标	频域动态性能指标
  一阶系统	时间常数T，响应时间、延迟时间、上升时间	通频带，工作频带
  二阶系统	阻尼，响应时间、延迟时间、上升时间，还要与d	工作频带

测试系统动态模型建立

• 一般要通过冗余的方法，减小误差

时域测试系统建模

• 阶跃响应曲线求取传递函数
• 一阶系统
  • 非线性回归
  • 求取时间常数
• 二阶系统
  • 一元非线性回归/多元非线性回归问题

频域测试系统建模

• 频率特性求取传递函数

• 一阶系统
  

  • 冗余：，再将这三者取平均
  • 或者：最小二乘法回归

• 二阶系统

  • 时，用峰值点
    

小结

• 只要选3个点就可建立冗余方程组

	频域	时域
一阶	参数最可信赖值估计：时间参数T	最小二乘法的回归分析
二阶	参数最可信赖值估计：阻尼比系数、固有角频率	最小二乘法的回归分析

测试系统的误差分析与补偿

静态测量与动态测量误差

• 静态测量：测试系统随时间变化的程度要远远慢于被测量随时间变化的程度

  • 动态测量与之相反，特点：时空性、随机性、相关性

• 动态测量数据与动态测量误差

  • 随机性数据：相同实验条件下，每次测量的结果都不一样

    • 确定性数据与之相反

  • 时域特点、频域特点

    

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  • 动态测量误差

    定义：，时变量，处理时运用统计特征

    动态测量数据包含了动态测量误差

• 动态测量误差与静态测量误差

  • 不同点：
    • 表现形式上，动态测量独有：时空性、随机性、相关性
    • 误差求取过程上，
      • 静态测量：重复测量
      • 动态测量：单次测量
    • 数据处理量上，
      • 静态测量：10-15次
      • 动态测量：成百上千次

• 动态测量误差评定

  1. 从测量数据出发，分离出不同误差
  2. 从系统构成出发，以环节分析推动整个系统的误差分析

从测量过程入手

• 原理误差、补偿原理

  误差	补偿原理
  系统方程近似	探究近似方程式的起因
  测量方法不完善	从根本上改善测量方法
  参数理论值与实际值不符	对参数进行实测，然后将实测结果送入测试系统中处理

• 工具误差、补偿原理

  • 量具误差、仪器误差
  • 补偿原理
    • 方法、原理误差：限制测量范围，进行后续误差补偿
    • 加工、安装：严格控制加工条件，进行误差补偿
    • 环境因素：控制环境变化
  • 可补偿性：不能完全补偿

  游标卡尺没有遵循阿贝原则而产生误差：游标卡尺的基准轴线与测量轴线应该平行

测试系统的静态误差分析与补偿

• 测试系统误差的切入点：拆分成不同环节，分析如何传递

误差分析与表达

• 输入端干扰、输出端干扰、环节内部干扰
  • 微分环节：只有输出端与环节内部的直流偏置
  • 积分：环节内部、输出端
  • 微分环节和积分环节内部带来的偏置都不随时间累积

误差分析的基本思想

• 测试系统的合理拆分和建模
• 误差影响因素的准确分析和评价
• 误差传递规律的深入研究和计算
• 全面评价

补偿

• 实质：在系统中添加与干扰信号反方向的信号分量，从而达到抵消干扰信号的作用
• 思想
  • 同一位置：与干扰信号同位置
  • 不同位置：位于测试系统末端

开环系统的静态误差分析与补偿

• 误差分析方法
  • 传递系数规则：系统对输入量与各干扰信号的误差传递系数相当于干扰信号从作用点起到末尾所有传递系数连乘积，如果有并联回路，再乘上并联回路各支路的传递系数之和
• 补偿方法
  • 并联：难以实现
  • 串联：在整个系统的输出端进行补偿
  • 注意：如果系统有积分环节，以其作为节点，将系统拆分，在这个基础上补偿

闭环系统的静态误差分析与补偿

• 误差分析方法
  • 单环反馈式闭环系统
  • 干扰项的分析计算
    • 负（正）反馈时，分母为1±闭环部分传递系数之积
    • 分子为从干扰作用点起沿箭头方向至输出端的所有环节传递函数之积
  • 多环反馈式闭环系统：逐步简化成单环系统
• 补偿方法
  • 此处注意补偿的方向！补偿加在反馈回路之中，负反馈不用反向，正反馈要

开环系统的动态误差分析与补偿

• 分析
  • 第一类动态误差：没有干扰，只有过渡过程造成的误差
  • 第二类动态误差：只是由干扰引起的
• 补偿
  • 只针对第一类动态误差
• 设计
  • 低通滤波器构建高通滤波器、带通、复杂传递函数

闭环系统的动态误差分析与补偿

• 分析
  • 将各环节传函拆成分母/分子
  • 算特征式
• 补偿
  • 1类：过渡过程引起
    • 在输出端加以补偿
    • 在内部加校正装置
      • 改变局部参数
      • 替代局部结构
    • 复合校正
  • 2类：干扰引起
    • 测试系统误差补偿

测试系统性能提高的途径与方法

• 提高静态性能
  • 测试原理方案与器件改善
  • 误差补偿的引入：实际上主要用最末端的误差补偿
• 提高动态性能
  • 测试原理方案与器件改善
  • 误差补偿的引入

主线

• 测量结果、测试系统
  • 静态测量、动态测量
  • 误差、不确定度

	静态测量	动态测量
测量结果
测试系统
	误差	不确定度

复习点

1章

• 测量与计量的基本概念
• 误差的基本概念+测量的分类方式
• 有效数字+运算规则

2章

• 系统误差、随机误差、粗大误差
• 等精度与不等精度测量：权值的确定（测量次数？标准差？）+加权算数平均值+单位权化算出加权算术平均子的标准差
• 误差的合成与分配
  • 已定系统误差：代数和
  • 未定系统误差+随机误差：方和根
  • 调整+验算
• 微小误差的取舍原则与最佳测量方案的确定
  • 取舍：1/3与1/10
  • 最佳：项数、传递系数

3章

• 不确定度
• 动态测量结果

4章

• 最小二乘法
• 参数的最可信赖值估计
  • 直接测量量的精度估计
  • 最小二乘结果的精度估计
• 组合测量

5章：回归分析

• 一元线性
  • 检验
• 一元非线性
  • 非线性函数的选择
• 多元线性
  • 评价每一个量的贡献

6章

• 随机过程的基本概念
• 动态测量误差的分析处理

7章

• 静态测量xx
• 动态测量xx

问题

• 计算平均值与标准差时，标准差需要保留几位？