自动控制原理（下）

第七章：非线性系统分析

非线性系统描述

问题提出

• 线性化方法只适用于小范围工作的光滑非线性系统，无法解释自激振荡等典型非线性行为
  • 相平面法：微分方程的图解法
  • 描述函数法：非线性近似分析方法

常见的非线性特性

• 基本类别：死区、饱和、继电（理想，常规）、间隙、摩擦
  • 还有复合非线性、复杂非线性等
• 非线性的基本特征：输入/输出之间不满足叠加原理

什么是非线性系统

• 非线性系统：
  • 至少含有一个非线性元件的系统
  • 输出（状态）关于输入（初始状态）的关系不满足叠加原理的系统
  • 非线性微分方程是非线性系统的一种数学模型
    • 系统响应不仅与结构形式与参数有关，还与初始条件相关，初始条件不同解不同
      • 在此时积分需要注意上下限的问题

非线性系统的运动规律

1. 稳定性分析复杂

   • 给出一个一阶系统，先由x’ = 0算出平衡状态，然后再由x’ ≠ 0算出运动形式方程
     • 稳定平衡状态：系统轻微偏离平衡状态后还能恢复
     • 稳定运动：运动受扰之后还能趋近于原运动
     • 非线性系统：可能有多个平衡状态，它们的运动稳定性取决于系统结构/参数+初始条件+输入

2. 自由运动形式与初始条件有关

3. 可能存在稳定的周期运动

   • 自激振荡：一定频率与振幅的稳定周期运动

   • 非线性系统没有外作用时也完全有可能产生一个甚至多个自激振荡

4. 频率响应发生畸变

   • 出现高次谐波

非线性系统的分析与设计方法

• 相平面法、描述函数法为主

常见非线性特性对系统的影响

非线性特性的等效增益

• 静态非线性环节可视为伪比例环节，等效增益k为原点到非线性特性上特定点的斜率
  • 注意不是该点处切线斜率

死区非线性

饱和非线性

继电非线性

• 与饱和的区别：
  • 饱和：只有系统等效开环增益大于临界值时才会发生自激振荡
  • 继电：k可取任意正数，无论K0为多大，均可发生自激振荡

间隙非线性

• 等效增益
  • 兼具死区与继电环节的特征
  • 跨度大
• 影响
  • 正弦响应输出平顶失真（输入反向造成，非饱和），增大系统的稳定误差
  • 输出相角滞后，振荡加剧

摩擦非线性

• 等效增益
  • 动态：低速爬行
  • 稳态：增大稳态误差

相平面法基础

相平面的基本概念

1. 相变量：系统的一组呈导数关系的状态变量
2. 相平面：以相变量为直角坐标的平面，每个状态对应相平面上的一个点
3. 相轨迹：相平面上状态对应的点随时间移动的轨迹曲线
4. 相轨迹方程：描述相轨迹的曲线方程
   • 系统微分方程——相轨迹微分方程——相轨迹方程

二阶线性系统的相轨迹

1. 典型二阶线性系统
   1. ξ = 0
      1. 相轨迹：同心椭圆，时间增大方向上半平面向右，下半向左
      2. 奇点
         1. 相轨迹上切线斜率不确定的点，通常等同于平衡状态
         2. 零输入典型二阶系统的原点：奇点、平衡点
         3. 无阻尼系统的特征根：纯虚根，相轨迹是封闭曲线，奇点为中心，时域响应为初值决定的周期等幅振荡运动
   2. 0 < ξ < 1
      1. 相轨迹：曲线是收敛的对数螺旋线
      2. 奇点：特征根为一对负实部的共轭复根；奇点附近相轨迹以螺旋线收敛于该点，称为稳定的焦点
      3. 时域响应：衰减振荡，趋于平衡
   3. ξ > 1
      1. 相轨迹

相轨迹作图法——等倾线法

极限环

由相轨迹求状态转移时间

非线性系统的相轨迹分析

相平面法分析步骤

1. 求系统微分方程
   1. 选取相变量
   2. 分区域方程
   3. 开关线方程

描述函数

用描述函数法分析非线性系统

典型题目解题步骤

给出方程，求其相轨迹

1. 找出开关线（让方程内某项跳变的x）

2. 根据开关线分类讨论

3. 算出相轨迹方程，并将其积分

4. 画出相轨迹

   • 所画相轨迹是一般典型相轨迹的变形：

     • 典型二阶线性

       ξ < -1，非周期发散，不稳定节点，非振荡发散

       ξ = 0：同心椭圆，上半向右下半向左
       
       0 < ξ < 1：稳定螺旋线

       ξ > 1，两直线与一高次抛物线

由非线性特性，求描述函数，画出负倒描述函数

给出系统，求自振的振幅与频率

线性离散系统分析与设计

离散系统的基本概念

脉冲控制理论的建立与发展

1. 发展背景
2. 采样理论

什么是离散控制系统？

• 存在离散信号的控制系统

离散控制系统的特点

信号的采样与恢复

• 采样：香农采样定理
  • 实现前提：信号上限频率ωmax有限；润在理想低通滤波器
• 恢复：保持器

零阶保持器的传递函数（ZOH）（必须记住

特点：

1. 低通特性
2. 高频泄露
3. 逼近能力
4. 简单易行

z变换性质：

（z变换有基本的表格，这个需要记住）

1. 线性定理
2. 实数位移定理
3. 父位移定理
4. z域尺度定理
5. 卷积定理

z逆变换

• 部分分式法

  • 将原分式转化为多个不同的分式之间的和或者差，再分别对这几个分式求z反变换，求出f(k)，再写出f*(t)
    

• 幂级数法（长除法）

  • 将分母展开，然后长除，分别写出z的负k次方的系数（也就是f(k)的值）。然后借此求出f*(t)

• 常数法

• 留数法（反变换公式法）

  • 将F(z)乘上z的(k - 1)次方，然后找出其极点。f(k)即为其两个极点用

情形1

F(z)是z的有理分式，F(z)/z的极点互异

情形2

F(z)是z的有理分式，F(z)/z存在多重极点

※基础的z变换需要记住

• 初值定理与终值定理

  • 初值定理：
    

  • 终值定理：

    先判断：分母的各个相乘项中是否存在**|a0| >= a2**的情况。若存在则有单位圆外的极点，终值即f(∞)不存在

    若是没有该情况，
    

• 用z变换求解差分方程

  步骤：

  1. 先对两端进行z变换
  2. 代入初值整理得方程的解的z变换X(z)
  3. 将方程的解的z变换转化为差分方程的解x(k)

脉冲传递函数

• 求系统输出的z变换：
  • 首先求出输出的z变换与输入经过取样之后的z变换D(z)以及前向通道G(z)之间的关系
  • 然后求出D(z)与其他量之间的关系，
    • 用GH(z)代替C(z)的场合：X(z) = R(z) - C(z)直接成立，没有任何多余的系数
    • 注意如何合并连续环节：没有采样开关的、用导线连接的环节都可以直接合并
      • 一般说来，R不可以与后面的环节合并
  • 消去D(z)，得到C(z)的最终表达式

状态空间分析方法

• 现代控制理论研究分支：线性系统理论、滤波+辨识+控制
• 线性系统理论的研究范围和方法
  • 状态空间法

状态空间方法基础

概念

1. 状态与状态变量
   • 状态变量：完全确定动力学系统状态的最小一组独立变量
   • 状态变量数= 系统阶数 = 储能元件阶数和
     • 一般单变量运动系统都是二阶系统
2. 状态向量、状态空间及状态轨迹
   • 状态向量：描述系统的n个状态变量构成的列向量
   • 状态空间：由状态向量x(t)张成的n维向量线性空间
3. 系统输入输出
   • 输入：由外部环境施加到系统上的全部激励
   • 输出：能从外部环境量测到的来自系统的信息
4. 状态方程、输出方程与状态空间表达式
   • 状态方程 + 输出方程 = 状态空间表达式

表达式建立

• 建立方法：系统机理→微分方程→状态空间表达式（重要）

  1. 列出微分方程
  2. 定义状态变量
     1. 注意阶数。不能定义最高阶次的，因为后续求导求不出来
     2. 多加或者少系数没有关系
  3. 列出状态方程（就是每个状态变量的一阶导都写出来，合并成微分方程组）
  4. 写出输出方程

  注：

  1. 可以直接用传递函数导出状态空间表达式，也可以用矩阵形式、传递函数、框图
  2. 如果是求解在新的状态变量下的新坐标中的状态方程，应用矩阵求解比较方便。注意，无论是状态变量的一阶导还是状态变量本身，都需要更新。

• SISO

  • 矩阵写小写字母

• MIMO

  • 矩阵写大写字母

• 线性定常系统动态方程一般形式

线性定常系统状态方程的解

1. 齐次状态方程的解

   • 纯量微分方程

   • 向量微分方程

     • 配凑法（类似高考通过求导后得到求导前）
     • 拉普拉斯变换

   • 状态转移矩阵
     

     • 性质：
       • Φ(0) = I
       • Φ’(t) = AΦ(t) = Φ(t)A；Φ’(0) = A
       • (t) = Φ(s-t)

传递函数矩阵

动态方程的可逆线性变换

• 相似矩阵：一个矩阵经过可逆线性变换可以形成另一个矩阵
• 新的A,B,C,D需要记住，根据P矩阵来算，X（后） = PX（前）
• 性质：
  1. 特征多项式与特征值不变（相似变换不改变特征值）
  2. 传递函数阵不变
  3. Φ（上加一横）(t) = Φ(t)P

线性系统的可控性与可观性

• 可控性矩阵：S=[b,Ab,b]

  • 若rank S（矩阵S中不为零的子式的最高阶数）小于A的阶数，则不可控
    • 矩阵的秩的求解方法：将不同行进行线性变换后，非零行的个数

• 可观测性矩阵：V=

  • 若rank V小于A的阶数，则不可观测

• 传递函数：
  
  其中c、I、A、b都是矩阵，d为可能出现在y的表达式里的u的系数

• 通过可逆线性变换：

  • 将动态方程变成可控标准形

    求S

    • 系统可控

    

    • 系统不可控，按照可控性进行分解

    

    ​ 取P为S的前两列，最后一列为

  • 将方程化为可观测标准形

    求V

    • 系统可观测

      1. 与求可控标准形一样求法
      2. 求S，然后通过S求P；取M=，然后将代替方法1中的P求解

    • 系统不可观测

      取P为V的前两行，最后一行为[0,0,1]

  • 求可观测子系统：求出的最后的A的靠左上的2×2矩阵，与求出的最后的b与c的前两项构成的矩阵

• 由系统结构框图写出系统的状态方程表达式，并确定系统是否可控、可观测

  • 首先由系统框图写出含有状态变量的方程（拉氏变换形式）
  • 将以上方程变为微分形式
  • 将微分形式方程以矩阵形式表述，得到A，b，c
  • 按照之前的经验判断系统是否可控、可观测

• 给出传递函数，列写对应系统的可控标准形与可观测标准形实现

• 给出传递函数，列写对应系统的的约当形实现

  • 将传递函数化为不同的简单分式之间加减的结果
  • 然后设不同的分式为x1到x3，让Y(s)变为不同变量的线性运算结果
  • 最后求出x1到x3的导数与x1到x3与u的关系，以矩阵表示

• 不可控实现、不可观测实现、不可控且不可观实现、可控且可观实现

  • ？

状态反馈和状态观测器

• 能否通过状态反馈将极点配置到某处，如有可能求出其状态反馈矩阵

  1. 方法1
  • 如果可控则可以配置
  • 令状态反馈矩阵为k=[k1,k2,k3]，求出(A-bk)的特征式|sI-(A-bk)|
  • 根据想要配置到的坐标写出希望特征式，展开得各阶项系数
  • 让(A-bk)的特征式与希望特征式的各项系数相等，算出k。
  2. 方法2
  • 如果可控则可配置
  • 算出系统特征多项式
  • 算出希望特征多项式
  • 两者的二次项及以下的差值为
  • 再由可控性矩阵，算出，与

• 求一个方程的矩阵指数

• 求具有特定特征值的状态观测器

  • 首先求V，看是否可观测（如果要求状态观测器，一般是可观测的）

  • 三阶：

  • 然后求，从中求，即的最后一列

  • 求出

    • 注意：此处的为化为可控标准型后的，不是原系统的，

  • 与希望的多项式比较，对应项系数希望特征式减去系统特征式，求出

  • 计算观测器方程

  • 二阶：

  • 设，算，与希望特征式比对

  • 最后算出H

状态反馈与极点控制

2. 状态反馈对可控可观性的影响
   • 可控性：针对单输入系统，状态反馈不改变系统的可控性，
   • 可观性：
3. 状态反馈对闭环极点的影响
   • 引理：
     • 状态反馈前后可控标准型不变
     • 状态反馈不影响不可控的状态变量
   • 极点配置定理：单输入系统闭环矩阵(A-bk)特征值可以由k配置到任意位置的充要条件是原系统可控

• 给出传递函数，并提问能否通过配置改变传递函数
  • 若原G(s)无零极点相消，则其动态方程的最小阶实现是可控与可观测的
  • 思路：状态反馈不改变零点，则通过将传递函数配置为分母可以与分子相消的形式消掉零点

稳定性分析

• 稳定性分类：外部（通过输入输出反映，BIBO）、内部（Lyapunov稳定、渐进稳定）

  • 相平面：内部稳定性

  • 理想系统：外部稳定性

• 外部稳定（BIBO稳定）

  • 脉冲响应函数法：算传递函数
    • 若对消，与c有关则不可观，与b有关则不可控
  • 得出极点p，小于0则BIBO稳定

• 渐近稳定

  • 渐近稳定：算，得出特征值s（只要有一个大于0，则不稳定）

  • 李雅普诺夫方程式：
    
    其中：M为对称阵，N=I

自控复习课

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相平面法

1. 求微分方程

   1. 选取合适的相变量：一般选题目所给初始条件的变量
   2. 分区域列微分方程：把每个部件的微分方程写出来；然后将所有部件的微分方程合并，最终只含有相变量
   3. 开关线方程：根据最终得到的微分方程得到开关线方程（跳变时的x）

2. 画相轨迹

   1. 根据开关线分区域，解微分方程，求出大致形状

   2. 算出一个区域的结束点（一个区域的轨迹与开关线的交点）

      （只算一半的形状就可以，因为以x轴为轴对称，最后是条封闭曲线）

3. 运动分析

   1. 奇点、平衡状态

      1. 若为无阻尼系统，运动不衰减

   2. 极限环

   3. 周期运动

   4. 状态转移时间

      直线算法：路程/纵坐标大小

      如果不是直线也不是圆弧，用定义：
      

描述函数法

1. 适用结构与条件

   N：静态奇对称（线性环节）

   G：良好低通特性（非线性环节，用公式）

   回路：系数为1

2. 画N曲线与负倒描述函数

   1. 分析线性部分频率特性，画N曲线

      画起点、终点

   2. 分析非线性负倒描述函数

   3. 画出这两种曲线

3. 稳定区域判断

   算出线性频率部分曲线与负倒描述函数相切时候的情况：先算出ω，

   再由ω与相切条件算出T

   稳定：全封闭逆时针不包围（？（这里注意，相切的情况也算不稳定）-1/N(X)，圈数N=P

   （分析X一般在非线性环节的输入端）

4. 自激振荡判断

   看非线性负倒描述函数与G(jω)的交点

   稳定区域到不稳定区域：不稳定周期运动

   不稳定区域到稳定区域：稳定周期运动（自激振荡）

5. 计算振荡频率与振幅

※如何相平面法与描述函数法得出的结果矛盾，以相轨迹法为主。

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线性离散系统分析

1. 求闭环脉冲传函步骤

   1. 标注采样信号，和。

   2. 列方程求C(z)

      分别求E(s)和C(s)

      采样运算，合并

   3. 求闭环脉冲传函

2. z域稳定性判据（Jury判据）

   开环脉冲传函G(z)

   闭环特征方程：
   
   列朱利阵列（见ppt）

   特征根均位于单位圆内的充要条件

   n=2时系统稳定的充要条件简化：
   

3. 输入r(t)单独作用下的稳态误差

   1. 误差传递函数
   3. 静态误差系数

最少拍控制器设计

1. 典型输入
   

2. 综合设计

3. 具体过程
   1. 开环脉冲传函
   2. 闭环传函设计
   3. 最少拍控制器
   4. 控制误差
   5. 系统输出

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系统可逆变换

传递函数实现

• 约当标准型实现

1. 传递函数化简
2. 可控标准型
3. 可观标准型

状态反馈与状态观测

1. 间接法
2. 直接法

注意：可控情况下可以控制极点，但是无法改变零点（只能对消）

稳定性分析

• 线性定常系统BIBO稳定——>所有极点都有负实部

• 系统的传递函数为G(s)

  • 系统渐近稳定，则也BIBO稳定
  • 系统稳定且可控可观，则系统渐近稳定

• 对于线性定常系统

  • 每一平衡状态Lyapunov稳定的充要条件：A无正实部特征值，零实部特征值均为单根
  • 唯一平衡状态渐近稳定的充要条件：A的所有特征值均有负实部

• 对于线性定常系统，原点渐进稳定的充要条件：

  任给Q>0，…